Cờ vua là thước đo chuẩn cho chiều sâu. Một lựa chọn thiết kế kín đáo khiến WordChess còn sâu hơn nữa.
Năm 1950, Claude Shannon, cha đẻ của lý thuyết thông tin, , đã ước tính số lượng các ván cờ vua khác nhau có thể xảy ra. Câu trả lời của ông, xấp xỉ 10120, đã trở thành số Shannon, và nó đã neo giữ trực giác của chúng ta từ đó đến nay.1 Đó là một con số lớn đến mức khiến cho vũ trụ vật chất phải xấu hổ, vốn chỉ chứa khoảng 1080 nguyên tử.6 Bạn có thể cấp cho mỗi nguyên tử một bàn cờ riêng và vẫn không đủ số bàn để chơi hết mọi ván đấu.
Cờ vua đạt được điều này một cách xứng đáng. Ngay từ nước mở đầu, Trắng có 20 nước đi; Đen đáp trả bằng 20 nước, và đã có 400 thế cờ sau một lần trao đổi duy nhất. Sau sáu nước đi nửa, con số vượt qua 119 triệu; đến nước thứ mười, nó đạt tới 69 nghìn tỷ.4 Các kỳ thủ gọi đây là hệ số phân nhánh, số lượng lựa chọn hợp lệ ở mỗi lượt đi. Trong cờ vua, nó trung bình khoảng 35.2 Con số khiêm tốn đó, được nhân lên qua từng nước đi, chính là động cơ tạo nên bí ẩn của trò chơi. Trong hai mươi nước đầu tiên, nó tạo ra một lượng ván đấu vào khoảng 1060 ván. Nguồn gốc của chiều sâu trong cờ vua không nằm ở các quân cờ. Nó nằm ở sự phân nhánh.
Số nước đi đầu tiên của cờ vua được biết đến chính xác. Các con số của WordChess là ước tính, nhưng hai trò chơi phân kỳ nhanh đến mức khoảng cách trở nên rõ ràng chỉ trong một lượt đi.4
| Sau nước đi | Cờ vua, chính xác 4 | WordChess, ước tính 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
Các con số của cờ vua là số lượng nước đi sinh ra chính xác (perft).4 Các con số của WordChess giả định khoảng một triệu cách đặt quân hợp lệ ban đầu cho mỗi bên và một nghìn cách đi bảo thủ sau đó, xem ghi chú phương pháp.
WordChess trông giống như người anh em họ nhẹ nhàng hơn, một trò chơi chữ trên lưới, gần với ô chữ hơn là một cuộc đấu dao. Ấn tượng đó hoàn toàn sai, và một dòng duy nhất trong luật chơi là lý do: mỗi người chơi nắm giữ toàn bộ kho 100 ô chữ.7
Không có khay 7 ô, không có may rủi khi rút quân, không phải chờ đợi một nguyên âm. Trong bất kỳ lượt nào, một người chơi có thể với tay đến gần như bất kỳ 148,941 từ trong từ điển, những từ dài tới hai mươi lăm chữ cái, và tìm một nơi để đặt nó.7 Scrabble, bị giới hạn bởi bảy ô chữ ngẫu nhiên, cung cấp hệ số phân nhánh khoảng 35, gần như tương đương với cờ vua.5 WordChess loại bỏ hoàn toàn nút thắt cổ chai đó.
Hậu quả là dữ dội. Ngay nước đi đầu tiên đã mở ra khoảng từ một đến hai triệu điểm đặt hợp lệ, một từ, một hướng và một vị trí trên bàn cờ 25×25 rộng mở. Khi cả hai người chơi đã đi mộtnước, trò chơi đã phân nhánh thành khoảng nghìn tỷ thế cờ. Cờ vua, sau cùng một lượt đi, chỉ có bốn trăm.3
Luật chơi đơn giản hơn. Không gian của khả năng thì không.
Mỗi bậc cao gấp mười lần bậc bên dưới. Trên thang đo này, hai mươi nước đi đầu tiên của WordChess vượt qua sạch sẽ số nguyên tử trong vũ trụ và dừng lại đúng tại vị trí mà một cuộc chơi cờ vua nằm.1
Khi bàn cờ dần đầy, hệ số phân nhánh của cờ vua tăng dần lên khoảng 35 và duy trì ở mức đó. Hệ số phân nhánh của WordChess vẫn ở mức hàng nghìn, mỗi từ đã chơi đều trở thành một neo mới để bám vào, và toàn bộ bộ viên gạch có nghĩa là giới hạn thực sự duy nhất là những giao điểm nào mà từ điển cho phép.7
Hãy chạy tiến lên phía trước. Với một nghìn nước đi hợp pháp mỗi lượt một cách cố ý thận trọng, WordChess đạt đến 10120, số của Shannon, độ phức tạp của một toàn bộ ván cờ vua, trong hai mươi nước điđầu tiên của nó. Cho phép mười nghìn nước đi mỗi lượt, vẫn còn hợp lý, và hai mươi nước đi sẽ tăng lên đến 10160: một biên độ từ bốn mươi đến một trăm bậc lớn hơn so với cờ vua 1060.1
Thu nhỏ ước tính cho đến khi bạn giả định rằng một người chơi chỉ tìm thấy ba trăm những nước đi hợp lệ mỗi lượt, một phần nhỏ so với con số thực, và hai mươi nước đi vẫn cho ra 1099. Vẫn còn hơn cờ vua bốn mươi bậc độ lớn. Kết luận này vẫn đứng vững trước mọi giả định bi quan nhất mà bạn có thể đặt ra.1
Các con số của cờ vua là sản phẩm của hàng thập kỷ tính toán toàn diện; chúng là đã được biết đến. Các con số của WordChess là những ước tính cẩn thận, được rút ra từ các tham số thực của trò chơi, gồm bàn cờ 25×25, từ điển 148.941 từ và bộ chữ đầy đủ, và chúng đi kèm với sai số lớn. Điều không còn nghi ngờ là hướng và quy mô của khoảng cách. Mọi giả định trong bài viết này đều được chọn theo hướng thận trọng, và khoảng cách vẫn là khổng lồ.
Cờ vua ràng buộc bạn: một mã di chuyển như một mã, một tốt bò từng ô, và các lựa chọn của bạn, dù phong phú, vẫn hữu hạn và quen thuộc. WordChess trao cho bạn toàn bộ ngôn ngữ và toàn bộ bàn cờ, rồi yêu cầu bạn lựa chọn. Đó là sự đánh đổi mà thiết kế tạo ra, và đó là lý do tại sao lưới ô thân thiện lại che giấu một đại dương tổ hợp.
Không điều nào trong số này khiến WordChess khó chơi hơn, một không gian tìm kiếm lớn hơn không đồng nghĩa với một chiến lược sâu hơn, và thiên tài của cờ vua nằm ở việc nó khai thác được bao nhiêu ý nghĩa từ sự phân nhánh hẹp của mình. Nhưng bất kỳ ai hình dung một trò chơi chữ là lựa chọn nhẹ nhàng đều đã hiểu sai hoàn toàn về mặt toán học. Trong hai mươi nước đi đầu tiên, WordChess khiến trò chơi vĩ đại của các vị vua trông gần như nhỏ bé.
Phương pháp. "20 nước đi" nghĩa là 20 nước cho mỗi người chơi, 40 nửa nước đi, theo quy ước của cờ vua. Cờ vua: số lượng ván đấu ≈ b40 với b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: độ phân nhánh khai cuộc được ước tính từ (số từ có thể chơi đi qua trung tâm) × (số vị trí đặt cho mỗi từ) ≈ 106 cho mỗi bên; các nước đi sau được giữ ở mức 103–104 → b40 ≈ 10120–10160. Ngưỡng 1099 sử dụng b = 300. Đây là những ước tính, không phải chứng minh; xem "Ghi chú về sự chắc chắn."