Hiệu quả ẩn giấu của cơ số ba, và liệu một trò chơi xây dựng trên nó có lặng lẽ là cỗ máy thanh lịch hơn hay không.
Được viết và biên tập bằng tiếng Anh. Bản tiếng Việt này được tạo ra bằng dịch máy; ở những chỗ cần độ chính xác, bản gốc tiếng Anh là bản có thẩm quyền. Đọc bản gốc bằng tiếng Anh →
3927 là 2048 được dựng lại trong ba chiều và theo một số học khác. Bàn chơi là một khối lập phương 3×3×3, hai mươi bảy ô, và bạn đẩy cả khối theo bất kỳ hướng nào trong sáu hướng. Khi ba ô cùng giá trị va vào nhau, chúng không nhân đôi; chúng nhân ba. Ô ba thành ô chín, ô chín thành ô hai mươi bảy, và cứ thế: 81, 243, 729. Chính cái tên đã đếm ba ô đầu tiên, 3·9·27, và mọi thứ trong thiết kế đều là số ba đến tận cùng: ba ô mỗi trục, ba ô cho một lần hợp nhất, ba là hệ số tăng trưởng. 4
Tổ tiên của nó thì nhị phân một cách cố chấp. 2048 cổ điển làm việc với các lũy thừa của hai, 2, 4, 8, 16…, và hợp nhất các ô theo từng cặp. Hai là con số của đồng xu tung sấp ngửa, của bóng bán dẫn, của bit. Vì vậy câu hỏi tự nhiên mà một người chơi tò mò đặt ra là liệu việc đổi hai lấy ba chỉ là sự mới lạ, hay số ba vốn đã che giấu một lợi thế thực sự từ lâu. Hóa ra toán học có ý kiến riêng, và ý kiến ấy vững chắc đến bất ngờ.
Hãy tưởng tượng bạn phải chế tạo một cỗ máy lưu trữ các con số. Mỗi vị trí chữ số tốn của bạn một thứ gì đó, một bánh xe, một sợi dây, một bóng đèn điện tử, và chi phí đó tăng theo cơ số, vì một chữ số cơ số b cần b trạng thái phân biệt được. Nhưng cơ số lớn hơn cũng có nghĩa là bạn cần ít chữ số hơn để biểu diễn một số cho trước. Có một sự giằng co ở đây, và nó có tên gọi: hiệu suất cơ số (radix economy).
Về mặt hình thức, hiệu suất biểu diễn một số N trong cơ số b là tích của cơ số với số chữ số, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 Cơ số lớn cho bạn những con số ngắn nhưng chữ số đắt; cơ số nhỏ rẻ trên mỗi chữ số nhưng lại dàn trải. Ở đâu đó giữa hai thái cực có một điểm tối ưu, và nó không nằm ở nơi phần lớn công nghệ của chúng ta đã dừng chân.
| Cơ số | b ÷ ln b | so với tối ưu |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | tối ưu |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Với N lớn, hiệu suất biến thiên như (b ÷ ln b) · ln N, nên hiệu quả của một cơ số hoàn toàn phụ thuộc vào thừa số b ÷ ln b. Cực tiểu hóa nó bằng một chút giải tích, và đáp án vừa chính xác vừa kỳ lạ: cơ số tiết kiệm nhất là e, xấp xỉ 2,71828. 1 Tất nhiên, bạn không thể chế tạo một chiếc máy tính có 2,718 trạng thái mỗi chữ số. Nhưng bạn có thể hỏi số nguyên nào gần lý tưởng đó nhất, và người chiến thắng, vượt qua cả hai lẫn mười, là ba.
Khoảng cách này không chỉ mang tính học thuật. Cơ số ba nằm trong phạm vi nửa phần trăm so với mức tối ưu lý thuyết, trong khi nhị phân phải trả phụ phí sáu phần trăm và thập phân phải trả tới sáu mươi phần trăm nặng nề. Một cách cụ thể để cảm nhận điều đó: để viết mọi số từ 0 đến 999.999, nhị phân cần 20 chữ số, thập phân cần 6, nhưng tam phân chỉ cần 13, và 13×3 cho tổng nhỏ hơn 20×2. 1 Số ba thực sự nén được nhiều khả năng đếm hơn vào ít cấu trúc hơn.
Tự nhiên được yêu cầu chỉ ra cách đếm hiệu quả nhất, và nó trả lời bằng một số vô tỷ. Số nguyên gần nhất với câu trả lời ấy là ba.
Đây không chỉ là một điều thú vị trong sách giáo khoa. Năm 1958, tại Đại học Quốc gia Moskva, một nhóm do Nikolay Brusentsov và nhà toán học Sergei Sobolev dẫn dắt đã chế tạo Setun, chiếc máy tính tam phân nổi tiếng nhất từng được tạo ra. 3 Trong khi phương Tây dốc sức cho bit, Setun đếm bằng trit, và nó dùng một lược đồ đặc biệt đẹp: tam phân cân bằng, với ba giá trị chữ số không phải là 0, 1, 2 mà là −1, 0, +1. 2
Tính đối xứng này mang lại lợi ích ngay tức thì. Một con số tự mang dấu của nó, không cần bit dấu riêng, không cần những xoay xở rắc rối của phép bù hai, và để đổi dấu một giá trị bất kỳ, bạn chỉ cần lật từng chữ số. Làm tròn và cắt bỏ trở thành cùng một phép toán. Donald Knuth đánh giá nó là “có lẽ là hệ đếm đẹp nhất trong tất cả”. 2 Brusentsov, vì thiếu bóng bán dẫn, đã khéo léo tạo ra ba trạng thái ổn định từ các cặp lõi ferit; khoảng năm mươi chiếc Setun đã được chế tạo, phần lớn được gửi đi để giảng dạy toán học tại các trường đại học khắp Liên Xô. 3 Cỗ máy hoạt động, nó rẻ, và nó lặng lẽ đi trước những người láng giềng của mình.
Đây là chỗ một người viết cẩn trọng phải tự kiềm chế. Hiệu suất cơ số là một nhận định về việc lưu trữ và xử lý số theo những giả định chi phí cụ thể, và ngay cả các nhà toán học cũng lưu ý rằng những giả định ấy chỉ mang tính gần đúng; một phép tính toán đầy đủ hơn thường lại biện minh cho nhị phân, và đó là lý do thế giới vận hành trên nó. 1 Một câu đố hợp nhất không phải là một ngân hàng bộ nhớ; chẳng ai tối thiểu hóa số bóng đèn điện tử trong giờ giải lao uống cà phê. Vì vậy 3927 không “hiệu quả hơn” theo bất kỳ nghĩa kỹ thuật thực chất nào, và nói như vậy sẽ là gian lận.
Tuy vậy. Trò chơi vẫn thừa hưởng một điều có thật. Tăng trưởng bằng cách nhân ba đạt tới những con số lớn trong ít nước đi hơn, và mỗi nước đi hệ trọng hơn; mỗi lần hợp nhất làm được nhiều việc hơn, và khối lập phương 3×3×3 là bàn chơi nhỏ nhất cho phép phép hợp nhất bộ ba có chỗ thở theo mọi hướng. 4 Thiết kế này không tình cờ vấp phải số ba; nó đáp xuống đúng số nguyên mà toán học của phép đếm đã lặng lẽ ưa chuộng từ buổi bình minh của ngành điện toán điện tử, con số mà các kỹ sư của Setun đã chủ ý lựa chọn. Hai là con số chúng ta mặc định dùng. Ba là con số chúng ta lẽ ra đã chọn nếu hiệu quả, chứ không phải đồng xu sấp ngửa, có tiếng nói cuối cùng. Việc các ô số tình cờ ghép thành 3, 9, 27 là một câu đùa nhỏ mà vũ trụ vốn đã kể từ trước.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.