Một cuộc đối đầu về không gian trạng thái giữa một lưới phẳng toàn số hai và một khối lập phương được dựng hoàn toàn từ số ba.
Được viết và biên tập bằng tiếng Anh. Bản tiếng Việt này được tạo ra bằng dịch máy; ở những chỗ cần độ chính xác, bản gốc tiếng Anh là bản có thẩm quyền. Đọc bản gốc bằng tiếng Anh →
Cả hai trò chơi đều là câu đố trượt số. Trong 2048, bạn đẩy một lưới 4×4 gồm mười sáu ô theo một trong bốn hướng; các ô số bằng nhau va vào nhau và nhân đôi, leo dần lên các lũy thừa của hai. Trong 3927, bạn đẩy một khối lập phương 3×3×3 gồm hai mươi bảy ô theo một trong sáu hướng; ba khối bằng nhau va vào nhau và nhân ba, leo dần lên các lũy thừa của ba, 3, 9, 27, chính là những chữ số làm nên cái tên. 1 Hỏi trò nào khó hơn thực chất là hỏi trò nào che giấu một đại dương thế cờ khả dĩ lớn hơn. Vậy hãy thử đo lượng nước ấy.
Kích thước thô của một bàn chơi tăng theo (số ký hiệu mỗi ô)cells, với cells là số ô. Số ô nằm ở số mũ, và đó là nơi mọi đòn bẩy tập trung. 2048 có mười sáu ô; 3927 có hai mươi bảy ô. Giữ nguyên bảng ký hiệu của mỗi ô, và khối lập phương đã lớn hơn khoảng a27−16 = a11 lần; với bảng mười ký hiệu, riêng điều đó đã là nhiều hơn một trăm tỷ lần số trạng thái trước khi ta tính đến bất cứ điều gì khác. Chiều không gian thêm vào, chứ không phải phép tính cơ số 3, mới là động cơ thật sự.
Mỗi ô hoặc trống, hoặc chứa một giá trị ô số. Với 2048 giới hạn ở ô 256, một ô nói một trong chín ký hiệu: trống, cộng với {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Một cận trên đã được công bố, xây dựng từ đúng bảng ký hiệu này, đặt bàn 4×4 ở khoảng 5,63 × 1014 thế cờ, và các tác giả thẳng thắn thừa nhận rằng mức trần này bao gồm cả những bàn không hợp lệ, vốn không bao giờ thực sự xuất hiện. 2 Cho 3927 một độ sâu tương đương, trống cộng với {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, tức tám ký hiệu, và mức trần thô của nó là 827 ≈ 2,4 × 1024. Cơ số 3 khiến 3927 có ít ký hiệu mỗi ô hơn so với cơ số 2; mười một ô thêm vào trả lại cho nó cả bầu trời.
Đẩy các nấc thang giá trị sâu thêm một chút, và mức trần của 3927 vượt mức trần của 2048 khoảng từ một tỷ đến một trăm tỷ lần. Khối lập phương thắng nhờ số mũ.
Chưa ai liệt kê hết các trạng thái đạt được của 2048 kích thước đầy đủ, huống hồ là 3927. Nhưng các nhà nghiên cứu đã giải trọn vẹn những bàn 2048 thu nhỏ, và những con số chính xác ấy làm điểm tựa cho các ước tính của chúng ta. Một bàn 2048 cỡ 3×3 có 48.713.519 trạng thái đạt được; kéo dài thành 4×3 thì con số vọt qua một nghìn tỷ, 1.152.817.492.752 trạng thái, với 739.648.886.170 thế cờ sau nước đi khác nhau. 3 Mỗi ô thêm vào nhân bội cả thế giới. Ngoại suy đường cong đó tới 27 ô thì không bảng số trung thực nào có thể in ra được một con số duy nhất.
| Thuộc tính | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Bàn chơi | Phẳng 4×4 | Khối lập phương 3×3×3 |
| Số ô | 16 | 27 |
| Cơ số | 2 | 3 |
| Quy tắc hợp nhất | 2 ô giống nhau → nhân đôi | 3 ô giống nhau → nhân ba |
| Số hướng đẩy | 4 | 6 |
| Ký hiệu / ô (cùng độ sâu) | 9 | 8 |
| Mức trần thô (gồm cả bàn không hợp lệ) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Cận trên tinh chỉnh được trích dẫn | 5.63 × 10¹⁴ | chưa được công bố |
| Số đếm chính xác, bàn con 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Mọi con số lớn ở đây đều là cận trên hoặc ước tính theo bậc độ lớn, không bao giờ là một cuộc điều tra toàn bộ. Các mức trần đếm cả những bàn mà lối chơi hợp lệ không bao giờ đạt tới, chẳng hạn một bàn chỉ có đúng một ô đơn độc (cả hai trò đều bắt đầu với hai ô, và thêm một ô mới sau mỗi nước đi, nên không bàn nào từng chỉ còn lại một ô), hoặc những giá trị mà không chuỗi hợp nhất nào tạo ra được. Các con số của 2048 lấy từ những công trình đã qua bình duyệt; các con số của 3927 là những mức trần tôi tự tính nhanh, theo cùng một cách, và nên được hiểu là “không lớn hơn mức này, có lẽ ít hơn rất nhiều”. Luật chơi của cả hai trò đều được đo từ tài liệu thiết kế của trò chơi, chứ không phải giả định.
Kích thước không gian trạng thái là tấm bản đồ; hệ số phân nhánh là tốc độ bạn đi qua nó. Mỗi lượt, người chơi chọn một hướng, tối đa bốn trong 2048, tối đa sáu trong 3927, nên khối lập phương mang lại nhiều hơn năm mươi phần trăm lựa chọn thực sự cho mỗi nước đi. Rồi may rủi can thiệp: trò chơi thả một ô mới vào một ô trống ngẫu nhiên. 2048 sinh ra một ô 2 hoặc 4, tức khoảng hai khả năng cho mỗi ô trống trên tối đa mười lăm ô trống; 3927 luôn sinh ra một ô 3 duy nhất, nhưng vào tối đa hai mươi sáu ô trống. 1 Nhân lựa chọn với may rủi, cây trò chơi của 3927 xòe rộng hơn ở mỗi tầng, và, vì hợp nhất ba ô hiếm hơn hợp nhất hai ô, các ván của nó thường kéo dài hơn, khiến cây vừa sâu hơn vừa rộng hơn.
“Khó hơn” đối với con người là chuyện cảm nhận, và 2048 cũng chẳng dễ xơi: việc quyết định xem một thế cờ tùy ý có thể đạt tới một ô mục tiêu hay không đã được chứng minh là NP-khó trên một bàn tổng quát. 4 Nhưng xét như một đối tượng tổ hợp, 3927 là con thú lớn hơn với khoảng cách rộng và trung thực: nhiều ô hơn ở số mũ, nhiều hướng hơn ở độ phân nhánh, ván chơi dài hơn ở độ sâu. Phép tính cơ số 3 đặt nên tên gọi của nó gần như chỉ là một cú đánh lạc hướng. Độ khó chưa bao giờ nằm ở những con số ba. Nó nằm ở chiều thứ ba.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.